¿Cual es la Diferencia Entre Triangulos Semejantes y Congruentes?

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIANGULOS

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es combinación de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Criterios de congruencia de triángulos
Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.
Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Cuarto criterio de congruencia: LLA
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Semejanza de Triángulos:El concepto de semejanza corresponde a figuras de igual forma, pero no
necesariamente de igual tamaño.
Una semejanza, es un coaguló geométrico difundido de rotación (una rotación y una posible reflexión o simetría axial). En la rotación se pueden cambiar los lados y la radiación de una materia pero no se altera su coagulo.
En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).
Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.
En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.
Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:
Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Criterios de semejanza de triángulos.

1.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.	2.-Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo que forman.	3.- Dos triángulos son semejante si sus lados son proporcionales.

Para que dos triángulos sean semejantes es suficiente con que se verifique una de las siguientes condiciones:
1.   Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente iguales:
2.   Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales:
3.   Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e igual el ángulo comprendido:

Congruencia de triángulos

Triangulos Semejantes

Semejanza

Dos figuras geométricas son semejantes si existe al menos una relación de semejanza o similitud entre ambos:

Introducción

Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia.En la rotación se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con D, E y F, respectivamente.

Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas la longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes:

Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Ecuación[editar]

Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

$(ABC\sim A'B'C')\Longleftrightarrow {\begin{Bmatrix}\widehat {A}=\widehat {A}'\\\widehat {B}=\widehat {B}'\\\widehat {C}=\widehat {C}'\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow \left({\frac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {A'C'}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {B'C'}}{\overline {BC}}}\right)$

Corolarios

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Una semejanza es la composición de una isometría (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma. Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma. En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura). Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y DEF son semejantes se escribe ABC ~ DEF, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad (que la caracteriza) de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes Propiedad reflexiva, refleja o idéntica Todo triángulo es semejante a sí mismo. Propiedad idéntica o simétrica Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero. Propiedad transitiva Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero. Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

ABC; r || AC

r corta AB en L

r corta BC en M

T) $(BLM\sim BAC)$

Casos

Podrán presentarse 3 casos:

Primer caso[editar]

r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.

Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):

$\wedge B=\wedge B$ por carácter reflejo

$\wedge BLM=\wedge A$ por ser correspondientes entre r || AC, secante AB

$\wedge BML=\wedge C$ por ser correspondientes entre r || AC, secante BC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

${\frac {BL}{BA}}={\frac {BM}{BC}}\qquad \bigotimes$

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

${\frac {BM}{BC}}={\frac {AN}{AC}}\qquad \bigoplus$

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en $\bigoplus$ se obtiene:

${\frac {BM}{BC}}={\frac {LM}{AC}}\qquad \bigodot$

De $\bigotimes$ y $\bigodot$ se obtiene la consideración que llamaremos (2):

${\frac {BL}{BA}}={\frac {BM}{BC}}={\frac {LM}{AC}}$

Luego de (1) y (2), resulta:

$BLM\sim BAC$ por definición de semejanza.

Segundo caso[editar]

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:

$(BAC\sim BLM)\Rightarrow (BLM\sim BAC)$ por carácter simétrico.

Tercer caso

r marca a las semejantes de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.

Quedan entonces $BNO\sim BAC$ por el caso I, semejanza que llamaremos $\otimes$ .

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:

BN=BM por construcción
α=α' por ser opuestos por el vértice.
β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM $\oplus$ por el primer corolario de la definición.

De $\otimes$ y $\oplus$ , y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM $\Rightarrow$ BLM ~ BAC

Geometrías no-euclídeas

La posibilidad de aumentar el tamaño de una figura sin modificar su forma es tan obvia y natural que durante milenios se pensó que era una consecuencia de los axiomas de la geometría, y se trató en vano de demostrarlo desde la Grecia antigua. Sin embargo, al estudiar otras geometrías, las no euclidianas, los matemáticos del siglo XIX, entre ellosBernhard Riemann y Nikolái Lobachevski se dieron cuenta que esto sólo sucedía en los espacios euclídeos, es decir, sin curvatura.

Se puede definir una geometría sobre la esfera, por ejemplo: Los segmentos son los caminos más cortos que unen sus extremos y las rectas son las líneas geodésicas, a semejanza de los ecuadores de la esfera. El análogo de una homotecia se construye así: se escoge un punto O de la superficie como centro de la homotecia, y para definir la imagen de otro punto A se traza la geodésica que pasa por O y A (que es única si A no es el punto diametralmente opuesto a O), consideramos que O es el origen de esta línea y A el punto de abscisa 1. La imagen A' será el punto de abscisa k, dondek es la razón de la homotecia. En la figura se ha tomado k = 3 y se han construido las imágenes de B y C también.

Triángulos semejantes en la geometría de Riemann.

Se observa que la imagen del "triángulo" ABC es el "triángulo A'B'C', es decir que los catetos A'B', A'C' y B'C'son segmentos de líneas geodésicas, y que A'B'C' merece ser llamado triángulo semejante (por no decir homotético) al triángulo ABC.

Al aplicar la construcción precedente al pequeño triángulo ABC de la superfice de la esfera (pequeño en comparación con el diámetro), la suma de sus ángulos será ligéramente superior a π radianes (180º), pero el triángulo A'B'C' tendrá ángulos de mayor amplitud, siendo su suma mucho mayor que π radianes, como se ve en la figura. El aumento de tamaño implica aquí claramente un cambio de forma.

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos ycocientes de los lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.

Triangulos congruentes

Congruencia

Un ejemplo de movimiento o congruencia.semejante a ellas. La última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos.

En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras

Definición de congruencia en geometría analítica

En la geometría euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad matemática en aritmética y álgebra. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura, ladistancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura.

Una definición más formal: dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo Rⁿ son llamados congruentes si existe una isometría f : Rⁿ → Rⁿ (un elemento del grupo euclideo E(n)) con f(A) = B.

Congruencia de triángulos

La congruencia de triángulos estudia los casos en que dos o más triángulos presentan ángulos y lados de igual medida o congruentes.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Si el triángulo ABC es congruente al triángulo DEF, la relación puede ser escrita matemáticamente así:

$\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}$

En muchos casos es suficiente establecer la igualdad entre tres partes correspondientes y usar uno de los siguientes criterios para deducir la congruencia de dos triángulos.

Criterios de congruencia de triángulos

Las condiciones mínimas que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan criterios de congruencia, los cuales son:

Criterio LAL: Dos triángulos son congruentes si dos de sus lados tienen la misma longitud de sus homólogos, y el ángulo comprendido entre ellos tiene la misma medida de su homólogo.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.

Ángulos congruentes

	Los ángulos $α$* y $β$ son congruentes y opuestos por el vértice.*

	Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes. En esta imagen podemos ver que están marcados por el mismo color.

Losángulos opuestos por el vérticeson un ejemplo de ángulos congruentes. Las diagonales de un paralelogramo configuran ángulos opuestos por el vértice congruentes.congruentes se llaman homólogas o correspondientes.

Didferencia entre triangulos congruentes y semejantes

lunes, 17 de febrero de 2014